Cubos de Platón

Los cubos de Platón

¿Cuántos cubos hay en el monumento y en la plaza?

A menudo se hace referencia a la clásica leyenda del problema délico de duplicar o doblar el área de un cubo. Filoponus cuenta que los atenienses, en el 432 a. C., infectados por esa plaga, fueron a consultar a Platón. Previamente habían consultado al oráculo de Delos, y Apolo les había dicho que debían duplicar las dimensiones del altar de oro del templo. Fueron incapaces de hacerlo. Platón, el más grande matemático y filósofo de la época, les dijo que estaban siendo castigados por haber descuidado la sublime ciencia de la geometría, y deploró que no hubiera entre todos ellos un solo hombre capaz de resolver el problema.El problema délico, que es nada más y nada menos que la duplicación del cubo, suele confundirse generalmente con el de los cubos de Platón, a tal punto que los autores no familiarizados con la matemática los mezclan terriblemente. Este último problema es el a veces llamado Números Geométricos de Platón, y usualmente se agrega que muy poco o nada se sabe acerca de las verdaderas condiciones del problema.Algunos autores sostienen que sus términos se han perdido. Hay una antigua descripción de un enorme cubo erigido en el centro de una plaza embaldosada, y no hace falta un esfuerzo de la imaginación para asociar este monumento con el problema de Platón. La ilustración muestra a Platón contemplando el enorme cubo de mármol construido con un cierto número de cubos más pequeños. El monumento descansa en el centro de una plaza cuadrada pavimentada con similares bloques cúbicos de mármol. En ese pavimento hay tantos cubos como en el monumento, y todos ellos son precisamente de la misma medida.Establezca la cantidad de cubos necesaria para construir el monumento y la plaza cuadrada en la que está situado, y habrá usted resuelto el gran problema de los Números Geométricos de Platón.

Solución

El problema requiere un número que, elevado al cubo, dé un número cuadrado. Este es el caso de cualquier número que sea un cuadrado. El cuadrado más pequeño (aparte de 1) es 4, de modo que el monumento podría estar formado por 64 cubos (4 x 4 x 4) que se alzarían en el centro de un cuadrado de 8 x 8. Esto, sin embargo, no se adecuaría a las proporciones de la ilustración. Por lo tanto, probamos con el siguiente cuadrado, 9, que nos da un monumento de 729 cubos erigido sobre un cuadrado de 27 x 27. Ésta es la respuesta correcta pues es la única que coincide con la ilustración.

Mapa Conceptual

Cuerpos Geométricos

CUERPOS GEOMÉTRICOS

Un poco de historia

Aunque ya desde la Prehistoria la humanidad ha sentido curiosidad e inquietud ante las formas geométricas (motivos ornamentales en objetos cerámicos, en piezas de marfil, en los tejidos…), el origen de la geometría como ciencia, en el sentido actual del término, se atribuye a los griegos. Herodoto sostenía que los egipcios habían inventado la Geometría y que la habían enseñado a los griegos. Argumentaba que las condiciones geográficas y climáticas de Egipto obligaban a sus habitantes a realizar, tras cada inundación del Nilo, nuevas mediciones de las tierras de cultivo para establecer las lindes de los campos que, al parecer, siempre eran de forma cuadrada. De hecho, el término “Geometría” significaba “medida de la tierra”.
Los cuerpos geométricos se conocen desde hace mucho tiempo. Los griegos ya supieron de la existencia de los cinco poliedros regulares, como sabemos por las obras del filósofo Platón, que en sus trabajos se refiere a ellos. Por eso, los poliedros regulares son también conocidos como sólidos platónicos.
Pitágoras enseñaba en su escuela que el mundo estaba compuesto por cuatro elementos: fuego, aire, agua y tierra, que se identificaban, respectivamente, con el tetraedro, octaedro, icosaedro y cubo. Más tarde se descubrió el dodecaedro, que los pitagóricos identificaron con el Universo. Para ellos, la esfera era el más bello de los cuerpos geométricos, y consideraban que el Universo tenía esta forma.
En el siglo XXVIII, el matemática Euler encontró la fórmula (característica de Euler) que lleva su nombre que relaciona el número de caras, vértices y aristas de un poliedro convexo. (Matemática 8 EGB-Rodriguez, M. Martinez, M. –Chile-1998-Editorial McGraw-Hill-Páginas 64 y 65)

Obelisco de Buenos Aires




Pirámides de Egipto



Estación Ave de Zaragoza



Cubo de Rubik


Cono de Valencia

POLIEDROS

Si un cuerpo geométrico tiene todas sus caras planas, se trata de un cuerpo poliedro. Un poliedro está formado por un número finito de regiones poligonales. Cada arista de una región es la arista de exactamente otra región. Si dos regiones se intersecan, lo hacen en una arista o en un vértice.


Poliedros regulares

Los poliedros que tienen todas sus caras formadas por polígonos regulares iguales en forma y tamaño se denominan poliedros regulares. Sólo existen cinco: tetraedro regular, cubo o hexaedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular e icosaedro regular.

Tetraedro

Hexaedro - Cubo

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

Fórmula de Euler

El matemático Leonhard Euler descubrió una fórmula que se cumple en cualquier poliedro convexo:
C representa el número de caras del poliedro, A representa el número de aristas y V representa el número de vértices del poliedro (no importa si es regular o irregular) entonces se cumple que:

C + V - A = 2

Poliedros semirregulares

Hay poliedros cuyas caras son polígonos regulares, pero no son todos de la misma forma, es decir, las caras pueden ser por ejemplo, cuadrados y triángulos equiláteros, hexágonos regulares y cuadrados, etc.
A los poliedros de este tipo se les llama poliedros semirregulares.

POLIEDROS - PRISMAS

Los prismas son poliedros cuyas caras laterales son paralelogramos y cuyas bases son polígonos iguales y paralelos. Las aristas laterales de un prisma son paralelas y congruentes. La altura es el segmento perpendicular comprendido entre las bases. Satisface las siguientes condiciones:
Hay un par de caras congruentes sobre planos paralelos (bases).
Todas las demás caras son paralelogramos.

Prismas regulares
Son prismas cuyas bases son polígonos regulares.

Prismas irregulares
Son prismas cuyas bases no son polígonos regulares.

Prismas rectos
Son aquellos cuyas caras laterales son rectángulos o cuadrados. Sus aristas laterales son perpendiculares a las bases.

Prismas oblicuos
Son aquellos cuyas caras laterales son paralelogramos distintos al rectángulo y al cuadrado.

Paralelepípedos
Son prismas cuyas bases son paralelogramos.

Ortoedros
Son prismas cuyas seis caras laterales son rectángulos. Son paralelepípedos.

Paralelepípedo - Ortoedro

Prismas oblicuos

POLIEDROS - PIRÁMIDES

En la pirámide la base es un polígono cualquiera y las caras laterales son triángulos. El punto donde se cortan todas las caras laterales se llaman vértices. También podemos decir que, una pirámide es un poliedro en el cual todas las caras, menos una, tienen un vértice en común. Ese vértice común es el vértice de la pirámide, y la cara que no contiene al vértice es la base de la pirámide.
La altura de la pirámide es el segmento que va desde el vértice perpendicularmente al plano de la base.
Si la altura de la pirámide pasa por el centro de la base, la pirámide se llama recta. En caso contrario se llama oblicua.

Las pirámides se clasifican según los siguientes criterios:

• Por el número de lados de la base: pirámide triangular si la base tiene tres lados, cuadrangular si tiene cuatro lados, etc.
• Según el trazado de su altura: pirámide recta si la altura va desde el vértice hasta el centro de la base. En otro caso se llama pirámide oblicua.
• Pirámide regular o irregular según sea el polígono que forma la base.

CUERPOS REDONDOS

Sigamos trabajando con más revoluciones matemáticas.

Si un cuerpo geométrico tiene al menos una cara que no sea plana, se trata de un cuerpo redondo.
Aquellos cuerpos redondos cuya superficie se puede obtener haciendo girar una línea alrededor de un eje reciben el nombre de cuerpos o sólidos de revolución. Por otra parte, también hay cuerpos redondos que no son figuras de revolución, como una caracola de mar o algunas esculturas.

CUERPOS REDONDOS - CILINDRO

El cilindro se forma haciendo girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Un cilindro es como un prisma en el sentid de que tiene bases congruentes en un par de planos paralelos. Las bases son regiones circulares congruentes.
El segmento que une los centros de las dos bases se llame eje del cilindro. Un cilindro es recto si su eje es perpendicular a las bases. La altura del cilindro es la longitud del eje. Un cilindro puede considerarse como un prisma con un número infinito de lados. La superficie lateral y la circunferencia de las bases de un cilindro corresponden, respectivamente, a las caras laterales y al perímetro de un prisma.

CUERPOS REDONDOS - CONO

El cono se forma haciendo girar un triángulo rectángulo alrededor de un de sus catetos. Un cono puede considerarse como una pirámide con un número infinito de caras laterales. La superficie lateral de un cono corresponde a las caras laterales de una pirámide. La altura inclinada de un cono corresponde a la altura de una pirámide, y la circunferencia de la base de una cono corresponde al perímetro de la base de la pirámide.

CUERPOS REDONDOS - ESFERA

Obtenemos una esfera haciendo girar un semicírculo alrededor de su diámetro. Una esfera es el conjunto de todos los puntos que están a una distancia dada de un punto dado.