Peinar la esfera
extraído de: Paenza, Adrian (2008) Matemática ¿estás ahí? Episodio 100 - Editores Siglo Veintiuno. Argentina.
¿Intentó alguna vez peinar a un niño? ¿Se dio cuenta de que si uno quiere peinarlo de tal forma que todo quede lacio y en una misma dirección…2 no se puede? Por más que uno pruebe de una u otra forma, empezando por el costado o por atrás, o incluso por adelante, el resultado es invariablemente el mismo: no se puede. En todo caso, la única alternativa sería que en algún punto de la cabeza del niño no tuviera pelo!
No importa cuán creativo uno quiera ser, al final siempre hay pelos que apuntan para arriba… o en distintas direcciones. Es lo que se conoce con el nombre de remolino.
Hay otro ejemplo muy conocido y muy útil para entender esta idea (la del remolino): tome una pelotita de tenis. Habrá advertido que la superficie tiene una suerte de “pelitos”. Suponga que la quiere peinar (como el pelo en la cabeza del niño). Si uno quisiera dejar todos los pelitos planos, cambiando de dirección suavemente a medida que va avanzando, tampoco podría.
Es decir, la única manera de poder implementarlo es que, al menos en algún punto de esa pelotita, no haya pelos! Hasta acá, es sólo una observación práctica. No parece tener muchas consecuencias y, por otro lado, ¿a quién le importaría? En definitiva, generaciones y generaciones de humanos hemos coexistido con remolinos y nadie se murió por eso (no tengo una demostración de esto, Juan Sabia me observó que quizás haya habido algunos dictadores que mataron a sus peluqueros porque no pudieron doblegar un remolino en su cabeza…). Sin embargo, quiero mostrar algunas intervenciones de la ciencia en esto último y una aplicación impensada.
Justamente, una rama de la matemática –la topología algebraica– produjo un teorema muy importante, demostrado en 1912 por el científico danés L. E. J. Brower. Esencialmente, Brower probó que es imposible peinar una esfera con pelos en forma continua. Claro, el teorema dice otra cosa (lo escribo acá sólo para mostrar el lenguaje que se usa corrientemente –en matemática– y que está totalmente desvinculado de lo que uno lee/escucha/habla en nuestra sociedad):
No existen sobre la esfera campos vectoriales tangentes continuos nunca nulos.
Increíble, ¿no? Parece mentira que de un enunciado de estas características se desprenda que siempre tiene que haber remolinos en la cabeza de un niño. O que, en todo caso, la única manera de poder peinarlo en forma tal que el pelo quede lacio es que en algún lugar de su cabeza no haya pelos! No me abandone ahora. Lo imagino pensando: ¿a esto se dedican los matemáticos? ¿A demostrar que uno no puede peinar una cabeza evitando los remolinos? Téngame un poco más de paciencia. Créame que es sencillo, pero requiere que se tome un poquito de tiempo para pensar. Gracias.
¿Cómo se podría independizar uno de la cabeza del niño y sus cabellos? Así: imagine que usted tiene una esfera cualquiera y en cada punto de esa esfera tiene apoyada una “flechita” o un palito que es tangente en relación con la pelota en ese punto. Para clarificar las ideas, cuando escribo tangente es porque quiero decir que esa flechita está como “apoyada” o “pegada” en la pelota.
Ahora bien: trate de “pegar” (idealmente) una flechita en cada punto de la esfera en forma continua3 (lo que sería equivalente a la cabeza de un niño con pelos que le salen de todos lados y que usted quiere peinar). El teorema de Brower dice que no es posible hacer esa distribución continua de “flechitas”, salvo que en algún punto no haya flecha. Y afirmar que no haya flecha equivale a decir, en el caso de la cabeza, que en algún punto no haya pelo. Lo interesante es que, más allá de peinar esferas, este teorema tiene una aplicación, entre otras muchas (una muy directa ligada al clima).
Sígame con esto porque la consecuencia es espectacular. Imagine a la Tierra como una esfera. Suponga que en todo punto de la Tierra hay viento. Ese viento, en cada punto, tiene una cierta velocidad y dirección (que voy a imaginar –haciendo una simplificación– sólo horizontal). Imagine que usted le asigna una “flechita” horizontal o tangente en ese punto que mide la velocidad del viento.5 Cuanto más “larga” sea la flecha, indicará que el viento es de mayor intensidad. Al revés, si la “flechita” es muy corta, significará que hay muy poco viento. Y el lugar hacia donde apunte la flecha marcará la dirección del viento.
Entonces, el teorema dice que tiene que haber algún punto del globo donde no haya viento. Es decir, en cualquier momento que uno quiera medir, tiene que haber algún punto (o más) sobre la superficie de la Tierra donde no haya flechita, y por lo tanto, no haya viento. Lo notable es que, justamente, ese punto sería el ojo de un ciclón o anticiclón. El viento circularía o se enrollaría alrededor de ese punto, como el remolino que se forma en la cabeza con los pelos. Dicho de otra forma: el teorema de la “pelota peluda” dice –aplicado al clima– que siempre debe haber un punto (o más) en la Tierra donde tiene que haber un ciclón! Por supuesto, observe que el ojo del ciclón puede ser arbitrariamente grande o pequeño, y que el viento puede ser arbitrariamente intenso o suave. No importa. Lo sorprendente es que una observación tan inocente como la formación de remolinos en la cabeza de un niño (o de un adulto, por supuesto) dé lugar a un teorema muy importante, cuyas aplicaciones y consecuencias escapan no sólo al propósito de esta nota sino también a los planes de este autor.
