¿Siempre hay puntos “antipodales” en la Tierra que tienen la misma temperatura?
extraído de: Paenza, Adrian (2007) Matemática ¿estás ahí? Episodio 3,14 - Editores Siglo Veintiuno. Argentina.
Desafío: yo le aseguro que siempre hay dos puntos en el planeta (Tierra) ubicados exactamente en las antípodas, en donde la temperatura es exactamente igual. ¿Cómo se puede demostrar esto?
Como siempre, la idea es que piense por su cuenta y trate de plantearse el problema primero; leerlo, meditar sobre él, reflexionar sobre si se entiende o no, y luego, pensar en alguna potencial solución. Ah, y no encontrarla no significa nada, como tampoco significa nada encontrarla. Eso sí: todo el recorrido sí significa… y mucho.
DEMOSTRACIÓN
Le propongo que construyamos juntos dos puntos antipodales, es decir, dos puntos que estén en lados opuestos de la Tierra (si bien quizás oyó que Buenos Aires y Tokio son antipodales, en realidad, si uno se fija en un mapa, se va a dar cuenta de que no es exactamente así).
No importa. Lo que quiero es que nos pongamos de acuerdo sobre cómo construir dos puntos que sí estén en las antípodas. Supongamos que usted está mirando la Tierra, y “ve” los paralelos y los meridianos. Fíjese en el “ecuador” (o sea, el más grande de todos los paralelos).
Tome un punto cualquiera allí. Imagine que lo pincha con un palito que atraviesa la Tierra en forma horizontal (suponiendo que está sosteniendo la esfera con el polo norte “arriba” y el polo sur “abajo”), y lo hace aparecer del otro lado. Allí, al salir, vuelve a encontrar otro punto del ecuador. Ese otro punto, está justamente en las antípodas (también llamados puntos antipodales).
(Como se advierte hay, además, una cantidad infinita de pares antipodales. Es decir, para cada punto que elija sobre el ecuador, del “otro lado” existe el punto antipodal al que eligió.)
Voy a llamar a esos dos puntos A y B:
¿Qué podría pasar con respecto a las temperaturas en ambos puntos? Si en esos dos lugares la temperatura fuera igual, o sea, si A = B
Listo, se terminó el problema: hemos encontrado los puntos que buscábamos. Ahora, supongamos que no fuera así. Es decir, la temperatura en los dos puntos no es la misma. Entonces, en uno de los dos la temperatura es mayor. Digamos que en A es mayor que en B (o sea, que en A hace más calor que en B), y lo denomino así:
A > B
Esto también puede expresarse de otra forma, diciendo que la diferencia de temperaturas entre ambos puntos es positiva. Es decir que, si uno resta la temperatura de los dos lugares, obtiene un número positivo.
(A – B) > 0
Para fijar las ideas (aunque no sea necesario), supongamos que en A hay 35 grados de temperatura y en B, 20.Entonces la diferencia de temperaturas entre ambos puntos es de 15 grados (35 – 20 = 15).
¿Qué estará pasando al mismo tiempo en los otros puntos antipodales que están sobre el ecuador? Quiero probar que hay al menos un par de puntos antipodales que en ese momento tienen la misma temperatura. Imaginariamente, supongamos que uno hace girar el palito que tiene en una punta a A y en la otra a B. Le recuerdo que el palito pasa siempre por el centro de la Tierra, y tiene las dos puntas apoyadas en el ecuador. Ahora, volvamos a pensar en la diferencia de las temperaturas entre los dos puntos finales del “palito”. ¿Qué puede pasar con esa diferencia de temperatura entre esos dos puntos? Sabemos que (A – B) > 0 (en realidad, en el ejemplo que estábamos considerando la diferencia de temperaturas era de 15 grados). Al movernos y estudiar los cambios de temperatura en los extremos del palito, la diferencia puede seguir siendo positiva, o puede pasar a ser negativa, o incluso puede valer cero.
Analicemos cada caso.
a) Si al detenernos en otro par de puntos (ambos antipodales) la diferencia es cero, entonces allí hemos encontrado lo que queríamos: las temperaturas en ambos puntos es la misma.
b) Ahora lo invito a pensar conmigo. Si cuando nos detenemos la diferencia entre las temperaturas de los dos puntos dejó de ser positiva y pasó a ser negativa, eso significa que en algún momento del proceso… tuvo que haber pasado por cero! Y eso es lo que queremos. En ese instante hemos encontrado los dos puntos antipodales con temperaturas iguales.
c) ¿Puede ser que siempre se mantenga la diferencia de temperaturas positiva? No, la respuesta es no, ya que si diéramos una vuelta de 180 grados con el palito, y llegáramos con el punto A hasta el B (y a su vez, el B llegara a ser A), esa diferencia ahora tendría que cambiar, y pasaría a ser negativa (en el ejemplo que elegí, la diferencia es de 15 grados). Luego, en algún momento, esa diferencia tuvo que haber sido nula. Y eso es lo que buscamos.
Eso demuestra que inexorablemente siempre hay sobre la Tierra dos puntos antipodales en donde la temperatura es la misma. Y para eso, hace falta usar matemática. De hecho, el teorema que se usa se conoce con el nombre de Teorema del valor intermedio para funciones continuas, y la temperatura es una función continua.
